对于函数f(x)=x2+lg(x+x2+1)有以下四个结论：①f的定义域为R；②f在上是增函数；③f是偶函数；④若已知f=m

题文

对于函数f(x)=x2+lg(x+x2+1)有以下四个结论：
①f（x）的定义域为R；
②f（x）在（0，+∞）上是增函数；
③f（x）是偶函数；
④若已知f（a）=m，则f（-a）=2a²-m．
正确的命题是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①要使函数有意义，须x+x2+1＞0，而x+x2+1＞0恒成立，
∴函数的定义域为R，故①正确；
②已知函数y=x²在（0，+∞）上是增函数；下面判定函数y=lg（x+x2+1）也是增函数，
令t=x+x2+1，则y=lgt在（0，+∞）上是增函数，而t=x+x2+1在R上是增函数，
根据复合函数的单调性可知y=lg（x+x2+1）在R上是增函数，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，故②正确；
③f(-1)=1 +lg(-1+1+1)=1 +lg(-1+2)，
而f(1)=1 +lg(1+1+1)=1 +lg(1+2)，
∴f（-1）≠f（1），所以f（x）不是偶函数，故③错；
④令g（x）=f（x）-x²=lg（x+x2+1），则g（x）+g（-x）=lg（x+x2+1）+lg（-x+(-x)2+1）
=lg[(x+x2+1)(-x+(-x)2+1)]=lg1=0，
∴g（-x）=-g（x），即g（x）是奇函数；
∵f（a）=m，∴g（a）=f（a）-a²=m-a²，
∴g（-a）=-g（a）=-m+a²，
∴f（-a）=g（-a）+a²=2a²-m，故④正确；
故正确的命题是①②④，
故答案为：①②④．

解析

x2+1

考点

据考高分专家说，试题“对于函数f(x)=x2+lg(x+x2+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。