函数y=x+ax(a是常数，且a＞0)有如下性质：①函数是奇函数；②函数在(0，a]上是减函数，在[a，+∞)上是增函数．如果函数y=x+2bx（

题文

（理科）函数y=x+ax(a是常数，且a＞0)有如下性质：①函数是奇函数；②函数在(0，a]上是减函数，在[a，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+2bx（x＞0）的值域是[6，+∞），求b的值；
（2）判断函数y=x2+cx2（常数c＞0）在定义域内的奇偶性和单调性，并加以证明；
（3）对函数y=x+ax和y=x2+cx2（常数c＞0）分别作出推广，使它们是你推广的函数的特例．判断推广后的函数的单调性（只需写出结论，不要证明）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵2^b＞0，x＞0，∴2bx＞0，∴y=x+2bx≥2x•2bx=22b，当且仅当x=2bx，x²=2^b时等号成立．
又∵函数的值域是[6，+∞），即y≥6，∴22b=6，解得，b=long₂9．
（2）设f(x)=x2+cx2，因为x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，
f(-x)=(-x)2+c(-x)2=x2+cx2=f(x)，
∴函数f(x)=x2+cx2为偶函数．
设0＜x1＜x2，f(x2)-f(x1)=x22+cx22-x21-cx21=(x22-x21)(1-cx21x22)=(x 1-x 2)(x1+x2)(x12x22-c )x21x22．
当4c≤x1＜x2时，f(x2)＞f(x1)，
∴函数f(x)=x2+cx2在[4c，+∞)上是增函数；
当0＜x1＜x2≤4c，f(x2)＜f(x1)，f（x）在（0，4c]为减函数，
设x1＜x2≤-4c，，则-x1＞-x2≥4c，因f(x)=x2+cx2是偶函数，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（-x₁）-f（-x₂）＞0，
∴函数f(x)=x2+cx2在(-∞，-4c]上是减函数，
同理可证，函数f(x)=x2+cx2在[-4c，0)上是增函数．
（3）可以推广为研究函数y=xn+axn(常数a＞0，n是正整数)的单调性．
当n是奇数时，函数y=xn+axn在[2na，+∞)和(-∞，-2na]上是增函数，
在(0，2na]和[-2na，0)上是减函数；
当n是偶数时，函数y=xn+axn在[2na，+∞)和[-2na，0)上是增函数，
在(0，2na]和[-∞，-2na)上是减函数；

解析

2bx

考点

据考高分专家说，试题“（理科）函数y=x+ax(a是常数，且a.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。