设函数f=ax2+bx+c，F(x)=f(x)，&x＞0-f(x)，x＜0.若f=0，曲线y=f（x

题文

设函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为实数，且a≠0），F(x)=f(x)，&x＞0-f(x)，x＜0.
（1）若f（-1）=0，曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，求F（x）的表达式；
（2）在（Ⅰ）在条件下，当时，，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）为偶函数，证明F（m）+F（n）＞0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为f（x）=ax²+bx+c，所以f'（x）=2ax+b．
又曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，故f'（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．①
因为f（-1）=0，所以b=a+c．②
又因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），
所以c=2a+3．③
解由①，②，③组成的方程组，得a=-3，b=-6，c=-3．
从而f（x）=-3x²-6x-3．
所以F(x)=-3(x+1)2x＞03(x+1)2x＜0.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-3x²-6x-3，
所以g（x）=kx-f（x）=3x²+（k+6）x+3．
由g（x）在[-1，1]上是单调函数知：-k+66≤-1或-k+66≥1，
得k≤-12或k≥0
（Ⅲ）因为f（x）是偶函数，可知b=0．
因此．
又因为mn＜0，m+n＞0，
可知m，n异号．
若m＞0，则n＜0．
则F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+c-an²-c=a（m+n）（m-n）＞0．
若m＜0，则n＞0．
同理可得F（m）+F（n）＞0．
综上可知F（m）+F（n）＞0．

解析

-3(x+1)2x＞03(x+1)2x＜0.

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。