对于定义域为D的函数y=f，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f的值域也是[m，n

题文

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x²的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数y=g(x)=3-5x不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数y=h(x)=(a2+a)x-1a2x（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵y=x²在区间[0，1]上单调递增．（2分）
又f（0）=0，f（1）=1，∴值域为[0，1]，∴区间[0，1]是y=f（x）=x²的一个“和谐区间”．（4分）
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函数y=3-5x在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则g(m)=mg(n)=n（8分）
故m、n是方程3-5x=x的同号的相异实数根．∵x²-3x+5=0无实数根，∴函数y=3-5x不存在“和谐区间”．（10分）
（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数y=(a2+a)x-1a2x=a+1a-1a2x在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则h(m)=mh(n)=n（14分）
故m、n是方程a+1a-1a2x=x，即a²x-（a²+a）x+1=0的同号的相异实数根．∵mn=1a2＞0，∴m，n同号，只须△=a²（a+3）（a-1）＞0，即a＞1或a＜-3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]，∵n-m=(n+m)2-4mn=-3(1a-13)2+43，∴当a=3时，n-m取最大值233（18分）

解析

5x

考点

据考高分专家说，试题“对于定义域为D的函数y=f（x），如果存.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。