题文
已知函数f（x）的定义域为I，导数fn（x）满足0＜f（x）＜2且fn（x）≠1，常数c1为方程f（x）-x=0的实数根，常数c2为方程f（x）-2x=0的实数根．（1）若对任意[a，b]⊆I，存在x0∈（a，b），使等式f（b）-f（a）=（b-a）fn（x0）成立．求证：方程f（x）-x=0不存在异于c1的实数根；
（2）求证：当x＞c2时，总有f（x）＜2x成立；
（3）对任意x1、x2，若满足|x1-c1|＜1，|x2-c1|＜1，求证：|f（x1）-f（x2）|＜4． 题型：未知 难度：其他题型
答案
证明：（1）假设方程f（x）-x=0有异于c1的实根m，即f（m）=m，则有m-c1=f（m）-f（c1）=（m-c1）fn（x0）成立．
因为m≠c1，所以必有fn（x0）=1，这与fn（x）≠1矛盾，
因此方程f（x）-x=0不存在异于c1的实数根．…（4分）
（2）令h（x）=f（x）-2x，
∵hn（x）=fn（x）-2＜0，∴函数h（x）为减函数．
又∵h（c2）=f（c2）-2c2=0，∴当x＞c2时，h（x）＜0，即f（x）＜2x成立．…（8分）
（3）不妨设x1≤x2，∵fn（x）＞0，∴f（x）为增函数，即f（x1）≤f（x2）．
又∵fn（x）＜2，∴函数f（x）-2x为减函数，即f（x1）-2x1≥f（x2）-2x2．
∴0≤f（x2）-f（x1）≤2（x2-x1）．
即|f（x2）-f（x1）|≤2|x2-x1|．
∵|x2-x1|=|x2-c1+c1-x1|≤|x2-c1|+|x1-c1|＜2，
∴|f（x1）-f（x2）|＜4．…（15分）
解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）的定义域为I，导数fn（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
