已知函数f=at2-bt+14a的最大值为正实数，集合A={x|x-ax＜0}，集合B={x|x2＜b2}．求A和B；定义A

题文

已知函数f（t）=at²-bt+14a（t∈R，a＜0）的最大值为正实数，集合A={x|x-ax＜0}，集合B={x|x²＜b²}．
（1）求A和B；
（2）定义A与B的差集：A-B={x|x∈A且x∉B}．设a，b，x均为整数，且x∈A．P（E）为x取自A-B的概率，P（F）为x取自A∩B的概率，写出a与b的二组值，使P（E）=23，P（F）=13．
（3）若函数f（t）中，a，b是（2）中a较大的一组，试写出f（t）在区间[n-28，n]上的最大值函数g（n）的表达式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f(t)=at2-bt+14a(t∈R)，
配方得f(t)=a(t-b2a)2+1-b4b，
由a＜0得最大值1-b4a＞0⇒b＞1．（3分）
∴A={x|a＜x＜0}，B={x|-b＜x＜b}．（6分）
（2）要使P(E)=23，P（F）=13．可以使①A中有3个元素，
A-B中有2个元素，A∩B中有1个元素．则a=-4，b=2．（9分）
②A中有6个元素，A-B中有4个元素，A∩B中有2个元素．则A=-7，B=3（12分）
（3）由（2）知f(t)=-4t2-2t-116(t∈[n-28，n])（13分）
g（n）=-4n2-2n-116，n＜-28116   -28≤n≤ 0-4n2+116   n＞0（18分）

解析

b

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（t）=at2-bt+14a（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。