已知定义在R上的奇函数f，在x∈时，f=2x4x+1，且f=f．求f在x∈[-1，1]上的解析式；证明：当

题文

已知定义在R上的奇函数f（x），在x∈（0，1）时，f（x）=2x4x+1，且f（-1）=f（1）．
（1）求f（x）在x∈[-1，1]上的解析式；
（2）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜12；
（3）若x∈（0，1），常数λ∈（2，52），解关于x的不等式f（x）＞1λ． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）是R上的奇函数且x∈（0，1）时，f（x）=2x4x+1，
∴当x∈（-1，0）时，f（x）=-f（-x）=-2-x4-x+1=-2x4x+1，（1分）
又由于f（x）为奇函数，∴f（0）=-f（-0），∴f（0）=0，（2分）
又f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1），∴f（-1）=f（1）=0．（3分）
综上所述，当x∈[-1，1]时，f（x）=-2x4x+1，x∈(-1，0)2x4x+1，x∈(0，1)0，x∈{-1，1，0}（4分）
（2）当x∈（0，1）时，f（x）=2x4x+1=(2x+12 x)   -1，（5分）
2x+12 x≥2，当且仅当2x=12 x，即x=0取等号．（6分）
∵x∈（0，1），∴不能取等号，
∴f（x）＜12；（8分）
（3）λ∈（2，52），1λ∈（25，12），f（x）＞1λ即4^x-λ•2^x+1＜0，
设t=2^x∈（1，2），不等式变为t²-λt+1＜0，∵λ∈（2，52），∴△=λ²-4＞0，
∴λ-λ 2-42＜t＜λ+λ 2-42．（10分）
而当λ∈（2，52）时，t＞0．
综上可知，不等式的解集是（0，log₂λ+λ 2-42）．（13分）．

解析

2x4x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的奇函数f（x），在x∈（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。