已知函数f=x3+ax+b定义在区间[-1，1]上，且f=f．又P、Q是其图象上任意两点．

题文

（理科做）已知函数f（x）=x³+ax+b定义在区间[-1，1]上，且f（0）=f（1）．又P（x₁•y₁）、Q（x₂•y₂）是其图象上任意两点（x₁≠x₂）．
（1）求证：f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形；
（2）设直线PQ的斜率为k，求证：|k|＜2；
（3）若0≤x₁＜x₂≤1，求证：|y₁-y₂|＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（0）=f（1），∴b=1+a+b得a=-1．（1分）
f（x）=x³-x+b的图象可由y=x³-x的图象向上（或下）平移b（或-b）个单位二得到．                                                                 （3分）
又y=x³-x是奇函数，其图象关于原点成中心对称图形，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形．                                                         （5分）
（2）∵点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）在f（x）=x³-x+b的图象上，k=y 1-y 2x 1-x2=x2 1-x32+x 1x 2-1．           （7分）
又x₁、x₂∈[-1，1]，x₁≠x₂∵0＜x₁²+x₂²+x₁x₂＜3，从而-1＜x₁²+x₂²+x₁x₂-1＜2
∴|k|=|x₁²+x₂²+x₁x₂-1|＜2                                     （11分）
（3）∵0≤x₁＜x₂≤1，且|y₁-y₂|＜2|x₁-x₂|=-2（x₁-x₂），①
又|y₁-y₂|=|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（1）-f（x₂）|≤|f（x₁）-f（0）|+|f（1）-f（x₂）|≤2|x₁-0|+2|x₂-1|=2（x₁-0）+2（1-x₂）=2（x₁-x₂）+2②
①+②得2|y₁-y₂|＜2，故|y₁-y₂|＜1（14分）

解析

y 1-y 2x 1-x2

考点

据考高分专家说，试题“（理科做）已知函数f（x）=x3+ax+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。