已知函数f=4x-a•2x+1+9，x∈[0，2]，当a=4，证明：函数y=f是[0，2]上的单调递减函数；若函数y=f是[0，2

题文

已知函数f（x）=4^x-a•2^x+1+9，x∈[0，2]，
（1）当a=4，证明：函数y=f（x）是[0，2]上的单调递减函数；
（2）若函数y=f（x）是[0，2]上的单调函数，求a取值范围；
（3）若f（x）≥0在[0，2]上恒成立，求a取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a=4时，f（x）=4^x-4•2^x+1+9=4^x-8•2^x+9，x∈[0，2]，
设t=2^x，得t∈[1，4]，
f（x）=g（t）=t²-8t+9=（t-4）²-7
∵t=2^x在区间[0，2]上是增函数，且g（t）=（t-4）²-7在区间[1，4]上是减函数，
∴f（x）=4^x-4•2^x+1+9在区间[0，2]上是单调递减函数；
（2）令t=2^x，得t∈[1，4]，f（x）=g（t）=t²-2at+9，
∵t=2^x在[0，2]上是增函数，且g（t）=t²-2at+9在（-∞，a]或[a，+∞）上是单调函数
∴区间[1，4]是（-∞，a]的子集，或[1，4]是[a，+∞）的子集
由此可得a≥4或a≤1，即a的取值范围为（-∞，1]∪[4，+∞）；
（3）由（2）可得
①当a≤1时，f（x）在区间[0，2]上是增函数，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（0）≥0，解之得a≤5
综合可得：a≤1；
②当a≥4时，f（x）在区间[0，2]上是减函数，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（2）≥0，解之得a≤178
综合可得找不出实数a的取值；
③当1＜a＜4时，f（x）在区间[0，2]上先减后增，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（log₂a）≥0，解之得-3≤a≤3
综合可得：1＜a≤3
综上所述，若f（x）≥0在[0，2]上恒成立，实数a的取值范围为（-∞，3]．

解析

178

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=4x-a•2x+1+9.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。