题文
已知函数f（x）=x+ax有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，a]上是减函数，在[a，+∞）上是增函数．（1）如果函数y=x+2bx（x＞0）在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）是增函数，求b的值；
（2）证明：函数f（x）=x+ax（常数a＞0）在（0，a]上是减函数；
（3）设常数c∈（1，9），求函数f（x）=x+cx在x∈[1，3]上的最小值和最大值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵函数f（x）=x+ax在（0，a]上是减函数，在[a，+∞）上是增函数且函数y=x+2bx（x＞0）在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）是增函数，
故2b=4
解得b=4
证明：（2）∵函数f（x）=x+ax（常数a＞0）
∴f（x）=1-ax2，
当x∈（0，a]时，x2≤a
即ax2≥1，
此时f（x）=1-ax2≤0恒成立
故函数f（x）=x+ax（常数a＞0）在（0，a]上是减函数
（3）当c∈（1，9）时，c∈（1，3）
故当x=c时，函数取最小值2c
而f（1）-f（3）=2(c-3)3
故当1＜c≤3时，函数的最大值是f（3）=3+c3
当3＜c＜9时，函数的最大值是f（1）=1+c
解析
ax考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x+ax有如下性质：如.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
