已知奇函数f=x+bx2+a的定义域为R，f=12．求实数a，b的值；证明函数f在区间上为增函数；若g=3

题文

已知奇函数f（x）=x+bx2+a的定义域为R，f（1）=12．
（1）求实数a，b的值；
（2）证明函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数；
（3）若g（x）=3^-x-f（x），证明函数g（x）在（-1，1）上有零点． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由于奇函数f（x）=x+bx2+a的定义域为R，故有f（0）=0，再由f（1）=12，可得实数a=1，b=0．
（2）由（1）可得f（x）=xx2+1，设-1＜x₁＜x₂＜1，则可得f（x₂）-f（x₁）=x2x22+1-x1x12+1=(x2-x1)(1-x1•x2)(x22+1)(x12+1)．
由题设可得 x₂-x₁＞0，1-x₁•x₂＞0，∴(x2-x1)(1-x1•x2)(x22+1)(x12+1)＞0，f（x₂）-f（x₁）＞0，故函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数．
（3）由于函数g（x）=3^-x-f（x）=3^-x-xx2+1，g（-1）g（1）=（3+12）（13-12）=-712＜0，
可得函数 g（x）在（-1，1）上有零点．

解析

x+bx2+a

考点

据考高分专家说，试题“已知奇函数f（x）=x+bx2+a的定义.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。