定义在R上的函数y=f，且f≠0，当x＞0时，f＞1，且对任意a，b∈R，f=ff．下列说法正确的是______（只填序

题文

定义在R上的函数y=f（x），且f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意a，b∈R，f（a+b）=f（a）f（b）． 下列说法正确的是______（只填序号）．
（1）f（0）=1； 
（2）对任意x∈R，有f（x）＞0；
（3）f（x）在R上是增函数；
（4）f（x）是R上的减函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令a=b=0，则f（0+0）=f（0）f（0），即f（0）=[f（0）]²，
又f（0）≠0，所以f（0）=1，故（1）正确；
（2）设x＜0，则-x＞0，所以f（-x）＞1，
则f（x-x）=f（x）f（-x），即f（0）=f（x）f（-x），
所以f（x）=1f(-x)，
又f（-x）＞1，所以0＜f（x）＜1，
因为x＞0时，f（x）＞1，f（0）=1，
所以对任意x∈R，有f（x）＞0，故（2）正确；
（3）设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[x₁+（x₂-x₁）]
=f（x₁）-f（x₁）f（x₂-x₁）=f（x₁）[1-f（x₂-x₁）]，
由（2）知，f（x₁）＞0，
由x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0，所以f（x₂-x₁）＞1，
所以1-f（x₂-x₁）＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）为R上的增函数，故（3）正确；
由（3）知，（4）错误；
故答案为：（1）（2）（3）．

解析

1f(-x)

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数y=f（x），且f（0）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。