已知函数f=λ•2x-4x的定义域为[0，1]．若函数f在[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围；若函数f的最大值为12，

题文

已知函数f（x）=λ•2^x-4^x的定义域为[0，1]．
（1）若函数f（x）在[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围；
（2）若函数f（x）的最大值为12，求实数λ的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设2^x=t，
∵函数f（x）=λ•2^x-4^x=-（2^x）²+λ•2^x定义域为[0，1]，
∴2^x∈[1，2]，y=-t²+λt，t∈[1.2]，
∵函数f（x）在[0，1]上是单调递减函数，
∴y=-t²+λt在[1.2]是减函数，
∴t=λ2≤1，解得λ≤2，
∴实数λ的取值范围是（-∞，2]．
（2）∵函数f（x）=λ•2^x-4^x的定义域为[0，1]，最大值为12，
由（1）知，y=-t²+λt=-（t-λ2）²+λ24，t∈[1.2]，
∴对称轴方程为t=λ2，
①当λ2＜1时，y=-（t-λ2）²+λ24在[1.2]是减函数，
∴当t=1时，y取最大值ymax=-(1-λ2)2+λ24=12，解得λ=32．
②当1≤λ2≤2时，当t=λ2时，y取最大值y_max=-（λ2-λ2）²+λ24=12，解得λ=±2，（舍）
③当λ2＞2时，当t=2时，y取最大值y_max=-（2-λ2）²+λ24=12，解得λ=94．
综上所述，实数λ的值为32，或94．

解析

λ2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=λ•2x-4x的定义域.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。