已知函数f=x3-ax．当a=3时，求f在[-2，2]上的最大值和最小值；已知函数g=ax，记h=f（x

题文

已知函数f（x）=x³-ax．
（I）当a=3时，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（II）已知函数g（x）=ax（|x+a|-1），记h（x）=f（x）-g（x）（x∈[0，2]），当函数h（x）的最大值为0时，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵f（x）=x³-ax，∴f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）
∵f'（x）＞0⇒x＞1或x＜-1，且x∈[-2，2]∴函数f（x）在[-2，-1]上递增，[-1，1]上递减，[1，2]上递增
∵f（-2）=f（1）=-2，∴f_min（x）=-2，∵f（0）=-2，而f（2）=2，∴f_max（x）=2
（II）h（x）=f（x）-g（x）=x³-ax|x+a|（x∈[0，2]），
（1）当a≤0时，h（x）=x³-ax|x+a|≥0
∵h（0）=0，且0＜x≤2时h（x）＞0显然不符合题意
（2）当a＞0时，∵x≥0，h（x）=x³-ax²-a²x≥0
∴h'（x）=3x²-2ax-a²=（x-a）（3x+a）
∵x≥0，h'（x）＞0⇒x＞a
①当a≥2时，必有h'（x）≤0，∴h（x）在[0，2]上递减，则最大值为h（0）=0，满足题设
②当0＜a＜2时，∵h'（x）＞0⇒x＞a∴h（x）在[0，a]上递减，在[a，2]上递增
则h（x）_max=max（h（0），h（2））
∵h（0）=0只需h（2）≤0，即8-4a-2a²≤0
∴5-1≤a＜2
∴实数a的取值范围[5-1，+∞)

解析

5

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3-ax．（I）当a.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。