已知函数f(x)=a•2x2x+2的图象过点(0，2-1)．求f的解析式；设P1，P2为y=f的图象上两个不

题文

已知函数f(x)=a•2x2x+2的图象过点(0，2-1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）为y=f（x）的图象上两个不同点，又点P（x_P，y_P）满足：OP=12(OP1+OP2)，其中O为坐标原点．试问：当xP=12时，y_P是否为定值？若是，求出y_P的值，若不是，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知a1+2=2-1，
解得a=1，
∴f(x)=2x2x+2；
（2）12=xP=12(x1+x2)⇒x1+x2=1⇒x2=1-x1yP=12(y1+y2)=12(2x12x1+2+2x22x2+2)=12(2x12x1+2+21-x121-x1+2)
=12(2x12x1+2+22+2•2x1)=12(2x12x1+2+22+2x1)
=12•1=12，
∴y_p为定值12．

解析

a1+2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=a•2x2x+2的图象.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。