题文
设关于x的函数f（x）=-cos2x-2msinx+m2+2m的最小值是m的函数，记为g（m）．（1）求g（m）的解析表达式；
（2）当g（m）=5时，求m的值；
（3）如果方程f（x）=0在x∈（0，π）有两不相等的解，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）f（x）=sin2x-2msinx+m2+2m-1，令t=sinx，则t∈[-1，1]，
则函数可变为h（t）=t2-2mt+m2+2m-1=（t-m）2+2m-1，
图象开口向上，对称轴为t=m，
①当m＜-1时，g（m）=h（-1）=m2+4m；
②当-1≤m≤1时，g（m）=h（m）=2m-1；
③当m＞1时，g（m）=h（1）=m2．
所以g（m）=m2+4m，m＜-12m-1，-1≤m≤1m2，m＞1．
（2）当g（m）=5时，
若m＜-1，有m2+4m=5，解得m=-5或m=1（舍）；
若-1≤m≤1，有2m-1=5，解得m=3（舍）；
若m＞1，有m2=5，解得m=5或-5（舍）；
综上知，m=-5或m=5．
（3）方程f（x）=0在x∈（0，π）有两不相等的解，由（1）知：等价于h（t）=t2-2mt+m2+2m-1=0在t∈（0，1）上有一解，
则0＜m＜1△=4m2-4(m2+2m-1)=0或h（0）•h（1）＜0，即m=12或（m2+2m-1）m2＜0，所以m=12或-1-2＜m＜-1+2，且m≠0，
所以m的取值范围为：m=12或m∈（-1-2，0）∪（0，-1+2）．
解析
m2+4m，m＜-12m-1，-1≤m≤1m2，m＞1考点
据考高分专家说，试题“设关于x的函数f（x）=-cos2x-2.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
