题文
已知函数f(x)=12x2-f′(2)x，g(x)=lnx-12x2．（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，求实数a的取值范围；
（III）设x1，x2＞0，a1，a2∈[0，1]，且a1+a2=1，求证：xa11xa22≤a1x1+a2x2． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）因为f(x)=12x2-f′(2)x，所以f′（x）=x-f′（2）．（2分）
令x=2，得f′（2）=1，
所以f（x）=12x2-x．
（II）设F（x）=f（x）+g（x）=lnx-x，
则F′(x)=1x-1，（5分）
令F′（x）=0，解得x=1．（6分）
当x变化时，F（x）与F′（x）的变化情况如下表：
x（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0-f（x）↑极小值↓所以当x=1时，F（x）max=F（1）=-1．（8分）
因为对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，
所以a≥-1．（9分）
（III）证明：由（II），得F（x）=lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，
令x=x1a1x1+a2x2，得lnx1a1x1+a2x2≤x1a1x1+a2x2-1，
令x=x2a1x1+a2x2，得lnx2a1x1+a2x2≤x2a1x1+a2x2-1，（11分）
所以a1lnx1a1x1+a2x2+a2lnx2a1x1+a2x2≤a1(x1a1x1+a2x2-1)+a2(x2a1x1+a2x2-1)
因为a1+a2=1，
所以a1lnx1a1x1+a2x2+a2lnx2a1x1+a2x2≤1-a1-a2=0，（13分）
所以a1lnx1-a1ln（a1x1+a2x2）+a2lnx2-a2ln（a1x1+a2x2）≤0，
即a1lnx1+a2lnx2≤（a1+a2）ln（a1x1+a2x2）=ln（a1x1+a2x2），
所以ln(xa11•xa22)≤ln(a1x′1+a2x2)，
所以xa11•xa22≤a1x1+a2x2（14分）
解析
12考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=12x2-f′(2)x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
