已知函数f(x)=x+ax(x≠0，a∈R)判断函数f的奇偶性若a=1，证明：f在区间[2，+∞）是增函数．若f在区间[2，

题文

已知函数f(x)=x+ax(x≠0，a∈R)
（1）判断函数f（x）的奇偶性
（2）若a=1，证明：f（x）在区间[2，+∞）是增函数．
（3）若f（x）在区间[2，+∞）是增函数，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称
对于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f(-x)=-x+a-x=-(x+ax)=-f(x)
故f（x）为奇函数（5分）
（2）a=1，则f(x)=x+1x
任取2≤x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=(x1+1x1)-(x2+1x2)=(x1-x2)x1x2(x1x2-1)（8分）
∵2≤x₁＜x₂∴x₁x₂＞4，x₁-x₂＜0，（x₁x₂-1）＞0∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[2，+∞）是增函数（10分）
（3）任取2≤x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=(x1+ax1)-(x2+ax2)=(x1-x2)x1x2(x1x2-a)（12分）
要是函数f（x）在x∈[2，+∞）是增函数，必须使f（x₁）-f（x₂）＜0恒成立∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
即a＜x₁x₂恒成立（14分）
又∵x₁+x₂＞4，x₁x₂＞4∴a的取值范围是（-∞，4]（16分）

解析

a-x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x+ax(x≠0，a∈.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。