题文
设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且当x＞1时，f（x）＞0．（1）求f(12)的值，试判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）一个各项均为正数的数列{an}，它的前n项和是Sn，若a1=3，且f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1（n≥2，n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数M，使2n•a1•a2…an≥M•2n+3•(2a1-1)•(2a2-1)…(2an-1)对于一切正整数n均成立？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）令x=y=1，得f（1）=0；令x=2，y=12，得f(12)=-1（2分）y=f（x）在（0，+∞）上单调递增．下面证明：
任取0＜x1＜x2，则x2x1＞1，
∵当x＞1时，f（x）＞0，∴f(x2x1)＞0
在已知式中令x=x1，y=x2x1，得f(x2)-f(x1)=f(x2x1)＞0，即证．（4分）
（2）当n≥2时，∵f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1
∴f（Sn）+1=f（an）+f（an+1），即f（2Sn）=f（an（an+1））
∵y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴2Sn=an（an+1）（6分）
∴2Sn+1=an+1（an+1+1）
两式相减得：2an+1=a2n+1+an+1-a2n-an，即（an+1+an）（an+1-an-1）=0∵an＞0，
∴an+1-an=1∴数列{an}从第二项起，是以1为公差的等差数列…（7分）
又在2Sn=an（an+1）中令n=2可得：a2=3
综上，an=3，n=1n+1，n≥2．（8分）
（3）n=1时，2×3≥M•5•5，M≤6525（9分）
n≥2时，2n•3•3•4…(n+1)≥M2n+3•5•5•7…(2n+1)
∴M≤2n•3•3•4…(n+1)2n+3•5•5•7…(2n+1)
令bn=2n•3•3•4…(n+1)2n+3•5•5•7…(2n+1)，
则bn+1bn=2(n+2)2n+3(2n+3)2n+5=4n2+16n+164n2+16n+15＞1
∴{bn}是递增数列
∴M≤b2=36725×7＜6525
∴M≤367175（12分）
解析
12考点
据考高分专家说，试题“设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
