对于函数y=f，若同时满足下列条件：①函数y=f在定义域D内是单调递增或单调递减函数；②存在区间[a，b]⊆3D，使函数f在[a，b]上的值域

题文

对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①函数y=f（x）在定义域D内是单调递增或单调递减函数；
②存在区间[a，b]⊆3D，使函数f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f（x）是D上的闭函数．
（1）求闭函数f（x）=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数g（x）=34x+1x，在区间（0，+∞）上是否为闭函数；
（3）若函数φ（x）=k+x+2是闭函数，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵y=-x³是[a，b]上的减函数，
∴f(a)=-a3=bf(b)=-b3=a.
∴ba=-a3-b3=(ab)3．
∴（ab)4=1，∴ab=±1
又∵-a³=b，∴a=-1b=1．
∴所求区间为[-1，1]．
（2）∵g′（x）=34-1x2，x∈（0，+∞），
令g′（x）=34-1x2＞0，得x＞233，
∴x＞233时，g（x）为（233，+∞）上的增函数．
令g′（x）=34-1x2＜0，得0＜x＜233
∴g（x）为（0，233）上的减函数．
∴g（x）不是（0，+∞）上的单调函数．
∴g（x）不是（0，+∞）上的闭函数．
（3）易知φ（x）是[-2，+∞]上的增函数．
设φ（x）=k+x+2满足条件②的区间是[a，b]，
∴ϕ(a)=k+a+2=aϕ(b)=k+b+2=b.
即a，b是方程x=k+x+2的两个不等实根．
也就是方程组x2-(2k+1)x+(k2-2)=0x≥-2x≥k有两个不等实根a，b．
①当k≤-2时，方程x²-（2k+1）+（k²-2）=0在[-2，+∞）上有两个不等实根．
∴2k+12＞-2△=(2k+1)2-4(k2-2)＞0(-2)2-(2k+1)(-2)+(k2-2)≥0.
解得：-94＜k≤-2．
②当k＞-2时，方程x²-（2k+1）x+（k²-2）=0在[k，+∞）上有两个不等实根．
∴2k+12＞k△=(2k+1)2-4(k2-2)＞0k2-(2k+1)k+(k2-2)≥0.
解得：-94＜k≤-2，与条件k＞-2矛盾．
∴φ（x）=k+x+2是闭函数，实数k的取值范围是-94＜k≤-2．

解析

f(a)=-a3=bf(b)=-b3=a.

考点

据考高分专家说，试题“对于函数y=f（x），若同时满足下列条件.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。