若定义在区间D上的函数y=f对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式f(x1)+f(x2)2≤f成立，则称函数y=f为区间D

题文

若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x₁、x₂总有以下不等式f(x1)+f(x2)2≤f（x1+x22）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的凸函数．
（1）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函数；
（2）设f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]时，f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围，并判断函数
f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）能否成为R上的凸函数；
（3）定义在整数集Z上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．
试求f（x）的解析式；并判断所求的函数f（x）是不是R上的凸函数说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：对任意x₁，x₂∈R，当a＜0，
有[f（x₁）+f（x₂）]-2f（x1+x22）=ax₁²+bx₁+c+ax₂²+bx₂+c-2[a（x1+x22）²+b（x1+x22）+c]=ax₁²+ax₂²-12a（x₁²+x₂²+2x₁x₂）=12a（x₁-x₂）²             （3分）
∴当a＜0时，f（x₁）+f（x₂）≤2f（x1+x22），即f(x1)+f(x2)2≤f（x1+x22）
当a＜0时，函数f（x）是凸函数．                                          （5分）
（2）当x=0时，对于a∈R，有f（x）≤1恒成立；当x∈（0，1]时，要f（x）≤1恒成立，即ax²≤-x+1，
∴a≤1x2-1x=（1x-12）²-14恒成立，∵x∈（0，1]，∴1x≥1，当1x=1时，（1x-12）²-14取到最小值为0，
∴a≤0，又a≠0，∴a的取值范围是（-∞，0）．
由此可知，满足条件的实数a的取值恒为负数，由（1）可知函数f（x）是凸函数  （11分）
（3）令x=y=0，则f（0）=[f（0）]²，∵f（0）≠0，∴f（0）=1，（12分）
令y=-x，则1=f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x），故f（x）=1f(-x)；
若n∈N*，则f（n）=f[（n-1）+1]=f（n-1）f（1）=2f（n-1）=…=[f（1）]²；          （14分）
若n＜0，n∈Z，则-n∈N^*，∴f（n）=1f(-n)=12-n=2ⁿ；∴x∈Z时，f（x）=2^x．
综上所述，对任意的x∈Z，都有f（x）=2^x；                                 （15分）
∵12[2⁰+2¹]=32＞2，所以f（x）不是R上的凸函数．                       （16分）
（对任意x₁，x₂∈R，有12[f（x₁）+f（x₂）]=12[2x1+2x2]≥12×22x1+x2=f（x1+x22），所以f（x）不是R上的凸函数． 16分）

解析

x1+x22

考点

据考高分专家说，试题“若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。