已知函数f1(x)=e|x-2a+1|，f2(x)=e|x-a|+1，x∈R．若a=2，求f=f1+f2在x∈[2，3]上的最小值；（2

题文

已知函数f1(x)=e|x-2a+1|，f2(x)=e|x-a|+1，x∈R．
（1）若a=2，求f（x）=f₁（x）+f₂（x）在x∈[2，3]上的最小值；
（2）若x∈[a，+∞）时，f₂（x）≥f₁（x），求a的取值范围；
（3）求函数g(x)=f1(x)+f2(x)2-|f1(x)-f2(x)|2在x∈[1，6]上的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为a=2，且x∈[2，3]，所以f（x）=e^|x-3|+e^|x-2|+1=e^3-x+e^x-1=e3ex+exe≥2e3ex×exe=2e，
当且仅当x=2时取等号，所以f（x）在x∈[2，3]上的最小值为2e …4分
（2）由题意知，当x∈[a，+∞） 时，e^|x-2a+1|≤e^|x-a|+1，即|x-2a+1|≤|x-a|+1 恒成立…6分
所以|x-2a+1|≤x-a+1，即2ax≥3a²-2a 对x∈[a，+∞） 恒成立，
则由2a≥02a2≥3a2-2a，得所求a的取值范围是0≤a≤2…9分
（3）记h₁（x）=|x-（2a-1）|，h₂（x）=|x-a|+1，则h₁（x），h₂（x）的图象分别是以（2a-1，0）和（a，1）为顶点开口向上的V型线，且射线的斜率均为±1．
①当1≤2a-1≤6，即1≤a≤72时，∴g（x）在x∈[1，6]上的最小值为f₁（2a-1）=e⁰=1…10分
②当a＜1时，可知2a-1＜a，所以
（ⅰ）当h₁（a）≤h₂（a），得|a-（2a-1）|≤1，即-2≤a≤0时，在x∈[1，6]上，h₁（x）＜h₂（x），即f₁（x）＞f₂（x），所以g（x）=f₂（x）的最小值为f₂（1）=e^2-a；
（ii）当h₁（a）＞h₂（a），得|a-（2a-1）|＞1，即a＜-2或0＜a＜1时，在x∈[1，6]上，h₁（x）＞h₂（x），即f₁（x）＜f₂（x），所以g（x）=f₁（x）的最小值为f₁（1）=e^3-2a；
③当a＞72时，因为2a-1＞a，可知2a-1＞6，且h₁（6）=2a-7＞a-5=h₂（6），所以
（ⅰ）当72＜a≤6时，g（x）的最小值为f₂（a）=e
（ii）当a＞6时，因为h₁（a）=a-1＞1=h₂（a），∴在x∈[1，6]上，h₁（x）＞h₂（x），即f₁（x）＜f₂（x），所以g（x）在x∈[1，6]上的最小值为f₂（6）=e^a-5…15分
综上所述，函数g（x）在x∈[1，6]上的最小值为1，1≤a≤72e2-a，-2≤a≤0e3-3a，a＜-2或0＜a＜1e，72＜a≤6ea-5，a＞6…16分

解析

e3ex

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f1(x)=e|x-2a+1|，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。