题文
已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数．（1）求k的值
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=12x+b没有交点，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）因为y=f（x）为偶函数，所以∀x∈R，f（-x）=f（-x），
即log9（9-x+1）-kx=log9（9x+1）+kx对于∀x∈R恒成立．
即2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log99x+19x-log9(9x+1)=-x恒成立
∴（2k+1）x=0恒成立，
∵x不恒为零，
∴k=-12．
（2）由题意知方程log9(9x+1)-12x=12x+b，即方程log9（9x+1）-x=b无解．
令g（x）=log9（9x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．
因为g(x)=log99x+19x=log9(1+19x)
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则0＜9x1＜9x2，从而19x1＞19x2．
于是log9(1+19x1)＞log9(1+19x2)，即g（x1）＞g（x2），
所以g（x）在（-∞，+∞）是单调减函数．
因为1+19x＞1，所以g(x)=log9(1+19x)＞0．
所以b的取值范围是（-∞，0]．
解析
9x+19x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=log9(9x+1)+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
