对于区间[a，b]，若函数y=f同时满足：①f在[a，b]上是单调函数；②函数y=f，x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a

题文

对于区间[a，b]（a＜b），若函数y=f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y=f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．
（1）求函数y=x²的所有“保值”区间；
（2）函数y=x²+m（m≠0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为函数y=x²的值域是[0，+∞），且y=x²在[a，b]的值域是[a，b]，
所以[a，b]⊆[0，+∞），所以a≥0，从而函数y=x²在区间[a，b]上单调递增，
故有a2=ab2=b.解得a=0，或 a=1b=0，或 b=1.
又a＜b，所以a=0b=1.所以函数y=x²的“保值”区间为[0，1]．…（3分）
（2）若函数y=x²+m（m≠0）存在“保值”区间，则有：
①若a＜b≤0，此时函数y=x²+m在区间[a，b]上单调递减，
所以 a2+m=bb2+m=a.消去m得a²-b²=b-a，整理得（a-b）（a+b+1）=0．
因为a＜b，所以a+b+1=0，即 a=-b-1．又b≤0-b-1＜b所以 -12＜b≤0．
因为 m=-b2+a=-b2-b-1=-(b+12)2-34(-12＜b≤0)，所以 -1≤m＜-34．…（6分）
②若b＞a≥0，此时函数y=x²+m在区间[a，b]上单调递增，
所以 a2+m=ab2+m=b.消去m得a²-b²=a-b，整理得（a-b）（a+b-1）=0．
因为a＜b，所以 a+b-1=0，即 b=1-a．又a≥0a＜1-a所以 0≤a＜12．
因为 m=-a2+a=-(a-12)2+14(0≤a＜12)，所以 0≤m＜14．
因为 m≠0，所以 0＜m＜14．…（9分）
综合 ①、②得，函数y=x²+m（m≠0）存在“保值”区间，此时m的取值范围是[-1， -34)∪(0， 14)．…（10分）

解析

a2=ab2=b.

考点

据考高分专家说，试题“对于区间[a，b]（a＜b），若函数y=.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。