函数f=x-alnx+a+1x求f的单调区间；求使函数f有零点的最小正整数a的值；证明：ln-ln2＞6n

题文

函数f（x）=x-alnx+a+1x（a＞0）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求使函数f（x）有零点的最小正整数a的值；
（3）证明：ln（n!）-ln2＞6n3-n2-19n-612n(n+1)（n∈N^*，n≥3）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=1-ax-a+1x2=[x-(a+1)](x+1)x2（2分）
∵x＞0，a＞0，
∴由f′（x）≥0得x≥a+1，f′（x）≤0得x≤a+1，
∴f（x）在（0，a+1）上递减，在（a+1，+∞）上递增．（4分）
（2）∵a∈N^*，∴由（1）知f_min=f（a+1）=a+2-aln（a+1）
∵f（x）有零点，
∴有a+2-aln（a+1）≤0，得ln（a+1）-（1+2a）≥0
令u（a）=ln（a+1）-（1+2a），易知u（a）在定义域内是增函数；（6分）
∵u（3）=ln4-53＜0，∴ln4＜53，∴4＜e53，∴4³＜e⁵，而e⁵＞4³成立，∴u（3）＜0
u（4）=ln5-32＞0，∴5²＞e³，而5²＞e³成立，∴u（4）＞0
故使函数f（x）有零点的最小正整数a的值为4．（8分）
（3）证明：由（2）知ln（a+1）-（1+2a）≥0，即ln（a+1）≥（1+2a），（a≥4），
∴lnn＞1+2n-1（n∈N^*，n≥5），ln（n²）＞1+2n2-1）（n∈N^*，n≥3），
即lnn＞12+12(1n-1-1n+1)（n∈N^*，n≥3），（11分）
∴ln3+ln4+…+lnn＞12（n-2）+12(12+13-1n-1n+1)
即lnn!2＞6n3-n2-19n-612n(n+1)
∴ln（n!）-ln2＞6n3-n2-19n-612n(n+1)（n∈N^*，n≥3）．（13分）

解析

ax

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）=x-alnx+a+1x（a.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。