设函数f=log2，且f=1，f=log212．求a，b的值；求函数f的零点；令g=ax-bx，求

题文

设函数f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）令g（x）=a^x-b^x，求g（x）在[1，3]上的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知，得log2(a-b)=1log2(a2-b2)=log122，
∴a-b=2a2-b2=12，
解得a=4b=2
（2）由（1）知f（x）=log(4x-2x) 2，
令f（x）=log(4x-2x) 2=0，
则4^x-2^x=0即（2^x）²-2^x-1=0，2^x=1±52，又因为2^x＞0，
所以2x=1+52，
故x=log1+522所以函数f（x）的零点是log1+522．
（3）由（1）知g（x）=4^x-2^x=（2^x）²-2^x，令t=2^x，
∵x∈[1，3]，∴t∈[2，8]，
显然函数y=t²-t=（t-12）²-14在[2，8]上是单调递增函数，
所以当t=2时，取得最小值2，
即函数g（x）在[1，3]上的最小值是2．

解析

log2(a-b)=1log2(a2-b2)=log122

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=log2（ax-bx），.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。