题文
对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．（1）若f(x)=x2-1x，g(x)=lnx，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？
（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在(1m，m)(m＞1)上不能被g（x）替代；
（3）设f(x)=alnx-ax，g(x)=-12x2+x，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，求实数a的范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵f(x)-g(x)=x2-1x-lnx，令h(x)=x2-1x-lnx，
∵h′(x)=12+1x2-1x=x2+2-2x2x2＞0，
∴h（x）在[1，e]上单调增，
∴h(x)∈[-12，e2-1e-1]．
∴|f（x）-g（x）|≤1，即在区间[[1，e]]上f（x）能被g（x）替代．
（2）记k（x）=f（x）-g（x）=x-lnx，可得k/(x)=x-1x
当1m＜x＜1时，k′（x）＜0，在区间(1m，1)上函数k（x）为减函数，
当1＜x＜m时，k′（x）＞0，在区间（1，m）上函数k（x）为增函数
∴函数k（x）在区间的最小值为k（1）=1，最大值是k（m）＞1，
所以不满足对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，
故f（x）在(1m，m)(m＞1)上不能被g（x）替代；
（3）∵f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，
即|f（x）-g（x）|≤1对于x∈[1，e]恒成立．
∴|alnx-ax+12x2-x|≤1．-1≤alnx-ax+12x2-x≤1，
由（2）知，当x∈[1，e]时，x-lnx＞0恒成立，
∴有a≤12x2-x+1x-lnx，
令F(x)=12x2-x+1x-lnx，
∵F′(x)=(x-1)(x-lnx)-(1-1x)(12x2-x+1)(x-lnx)2=(x-1)(12x+1-lnx-1x)(x-lnx)2，
由（1）的结果可知12x+1-lnx-1x＞0，
∴F'（x）恒大于零，
∴a≤12．
②a≥12x2-x-1x-lnx，
令G(x)=12x2-x-1x-lnx，
∵G′(x)=(x-1)(x-lnx)-(1-1x)(12x2-x-1)(x-lnx)2=(x-1)(12x+1-lnx+1x)(x-lnx)2，
∵12x+1-lnx+1x＞12x+1-lnx-1x＞0，
∴G'（x）恒大于零，
∴a≥e2-2e-22(e-1)，
即实数a的范围为e2-2e-22(e-1)≤a≤12
解析
x2考点
据考高分专家说，试题“对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
