已知函数f的定义域为R，对任意的x1，x2都满足．判断f的单调性和奇偶性；是否存在这样的实数m，当θ∈[，π2]时，不等式f[sin2

题文

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足．
（I）判断f（x）的单调性和奇偶性；
（II）是否存在这样的实数m，当θ∈[，π2]时，不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4sinθ+cosθ]+f(3+2m)＞0
对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）令x=y=0，有f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x，
有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．（2分）
在R上任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
由题意知f（x₁-x₂）＜0，
则f（x₁-x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）是增函数（6分）
（II）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4sinθ+cosθ]+f(3+2m)＞0，
只须f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4sinθ+cosθ]＞-f（3+2m）=f（-3-2m）
又由f（x）为单调增函数有sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4sinθ+cosθ＞-3-2m（8分）
令t=sinθ+cosθ，则sin2θ=t²-1，∵θ∈[0，π2]，∴t=2sin(θ+π4)∈[1，2]，
原命题等价于t2-1-(m+2)t-4t+3+2m＞0对t∈[1，2]恒成立．（10分）
∴(2-t)m＞2t-t2+4t-2，即m＞t(2-t)+2t(2-t)2-t=t+2t令g(t)=t+2t，则g′(t)=1-2t2，
当t∈[1，2]时，g′(t)＜0，
故g(t)在[1，2]上为减函数，∴m＞3时，原命题成立．（12分）

解析

4sinθ+cosθ

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。