已知函数f=ax-1ax+1(a＞1)判断函数的奇偶性；证明f是R上的增函数．

题文

已知函数f（x）=ax-1ax+1(a＞1)
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明f（x）是R上的增函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可知定义域为x∈R，
而f（-x）=a-x-1a-x+1=(a-x-1)•ax(a-x+1)•ax=1-ax1+ax=-f(x)，
∴（x）是奇函数；
（2）设任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=ax1-1ax1+1-ax2-1ax2+1
=2ax1-2ax2(ax1+1)(ax2+1)=2(ax1-ax2)(ax1+1)(ax2+1)，
∵a＞1，∴ax1＜ax2，且ax1+1＞0，ax2+1＞0
∴2(ax1-ax2)(ax1+1)(ax2+1)＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数．

解析

a-x-1a-x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax-1ax+1(a＞.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。