知函数f的图象与函数h(x)=x+1x+2的图象关于点A对称．求函数f的解析式，并写出定义域、值域．若g=f+ax

题文

知函数f（x）的图象与函数h(x)=x+1x+2的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出定义域、值域．
（2）若g（x）=f（x）+ax，且g（x）在区间（0，2]上的值不小于6，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），
点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（-x，2-y）在h（x）的图象上（3分）
∴2-y=-x+1-x+2，
∴y=x+1x，即f(x)=x+1x（6分）
f（x）的定义域为：{x|x≠0），值域为：{x|x≤0或x≥4}
（2）由题意  g(x)=x+a+1x，且g(x)=x+a+1x≥6
∵x∈（0，2]
∴a+1≥x（6-x），即a≥-x²+6x-1，（9分）
令q（x）=-x²+6x-1，x∈（0，2]，q（x）=-x²+6x-1=-（x-3）²+8，
∴x∈（0，2]时，q（x）_max=7（11分）
∴a≥7（13分）
方法二：q′（x）=-2x+6，x∈（0，2]时，q′（x）＞0
即q（x）在（0，2]上递增，
∴x∈（0，2]时，q（x）_max=7
即  a≥x²-1在x∈（0，2]时恒成立．
∵x∈（0，2]时，（x²-1）_max=3
∴a≥3
∴a≥7

解析

1-x

考点

据考高分专家说，试题“知函数f（x）的图象与函数h(x)=x+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。