已知定义在R上的单调函数f，存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2总有f=f+f+f恒成立求x0的值

题文

已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x₀，使得对于任意实数x₁，x₂总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立
（1）求x₀的值；
（2）若f（x₀）=1，且对任意正整数n，有an=1f(n)，bn=f(12n)+1，记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求S_n和T_n；
（3）若不等式an+1+an+2+…+a2n＞435[log12(x+1)-log12(9x2-1)+1]对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x₁=x₂=0，f（0）=f（x₀）+2f（0），f（x₀）=-f（0）
令x₁=1，x₂=0，f（x₀）=f（x₀）+f（1）+f（0），f（1）=-f（0），∴f（x₀）=f（1）
∵f（x）单调，∴x₀=1
（2）f（1）=1，令x₁=n，x₂=1，f（n+1）=f（n）+f（1）+f（1）=f（n）+2
∴f（n+1）-f（n）=2（n∈N^*），∴{f（n）}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴f（n）=2n-1（n∈N^*）
∴an=12n-1S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=11×3+13×5+…+1(2n-1)(2n+1)=12[1-13+13-15+…+12n-1-12n+1]=n2n+1
∵f(1)=f(12+12)=f(12)+f(12)+f(1)∴f(12)=0，b1=f(12)+1
∵f(12^)=f(12n-1+12n-1)=f(12n-1)+f(12n-1)+f(1)=2f(12n+1)+1
∴2bn+1=2f(12n+1)+2=f(12n)+1=bn
∴bn=(12)n-1Tn=(12)0(12)1+(12)1(12)2+…+(12)n-1(12)n=12+(12)3+…+(12)2n-1=12[1-(14)n]1-14=23[1-(14)n]
（3）令F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2nF(n+1)-F(n)=a2n+1+a2n+2-an+1=14n+1+14n+3-12n+1＞0
∴n≥2，n∈N^*时，F(n)＞F(n-1)＞…＞F(2)=1235
∴1235＞435[log12(x+1)-log12(9x2-1)+1]
即log12(x+1)-log12(9x2-1)＜2⇔x+1＞09x2-1＞0x+19x2-1＞14解得-59＜x＜-13或13＜x＜1

解析

12n-1

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的单调函数f（x），存在实.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。