题文
设f(log2x)=x+ax（a是常数）．（1）求f （x）的表达式；
（2）如果f （x）是偶函数，求a的值；
（3）当f （x）是偶函数时，讨论函数f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）令t=log2x，则x=2t，于是f(t)=2t+a2t∴f(x)=2x+a2x（3分）
（2）∵f（x）是偶函数，∴2-x+a2-x=2x+a2x对任意x∈R恒成立
即(a-1)(2x+12x)=0对任意x∈R恒成立
∴a-1=0，即a=（16分）
（3）f （x）是偶函数时，讨论函数f （x）在区间（0，+∞）上是增函数，
证明如下
f(x)=2x+12x，设0＜x1＜x2，则f(x2)-f(x1)=(2x2+12x2)-(2x1+12x1)=(2x2-2x1)(1-12x1+x2)（8分）
∵x1＜x2，且y=2x是增函数，∴2x2＞2x1，即2x2-2x1＞0
∵0＜x1＜x2，x1+x2＞0，∴2x1+x2＞1 ⇒12x1+x2＜1（10分）
故1-12x1+x2＞0
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数．（12分）
解析
a2t考点
据考高分专家说，试题“设f(log2x)=x+ax（a是常数）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
