设函数f=ax2+1bx+c是奇函数，其中a，b，c∈N，f=2，f＜3．求a，b，c的值；判断并证明f在（-∞，-1]上的

题文

设函数f（x）=ax2+1bx+c是奇函数，其中a，b，c∈N，f（1）=2，f（2）＜3．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在（-∞，-1]上的单调性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由f（x）=ax2+1bx+c是奇函数得：f（-x）+f（x）=0，∴ax2+1bx+c+ax2+1-bx+c=0，∴(ax2+1)2c(bx+c)(-bx+C)=0，
解得 c=0，即f(x)=ax2+1bx．
又f（1）=2，∴2=a+1b  ， 2b=a+1．
又 f（2）＜3，可得4a+12b＜3，4a+1a+1＜3，∴-1＜a＜2，
∵a∈N，∴a=0或1．
若a=0，则b=12∉N（舍去），∴a=b=1，c=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=x2+1x=x+1x，f（x）在（-∞，-1]上单调递增．
下用定义证明：设x₁＜x₂≤-1，则：f（x₁）-f（x₂）=x1+1x1-(x2+1x2)=x1-x2+x2-x1x1x2=(x1-x2)(1-1x1x2)，
因为x₁＜x₂≤-1，x₁-x₂＜0，1-1x1x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（-∞，-1]上单调递增．

解析

ax2+1bx+c

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=ax2+1bx+c是奇函.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。