设函数f的定义域为[-1，1]，f[cos(α+π30)]=tcos(2α+π15)+sin(α+π5)+cos(α+11π30)若f=-1，

题文

设函数f（x）的定义域为[-1，1]，f[cos(α+π30)]=tcos(2α+π15)+sin(α+π5)+cos(α+11π30)
（1）若f（0）=-1，求t的值和f（x）的零点；
（2）记h（t），g（t）分别是f（x）的最大值、最小值，求函数F（t）=h（t）-g（t）的解析式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令α=7π15
∴f（cosπ2）=tcosπ+sin（23π）+cos（5 6π）=-t=-1
∴t=1
∴f[cos（α+π30）]=cos（2a+π15）+sin（α+π5）+cos（a+11π30）
=cos2（a+π30）+sin[（a+π30）+π6]+cos[（a+π30）+π3]
=2cos²（a+π30）+cos（a+π30）-1
  令x=cos（a+π30）
∴f（x）=2x²+x-1
∵-1≤x≤1
∴x₁=-1 x₂=12
（2）f[cos（α+π30）]=tcos（2a+π15）+sin（α+π5）+cos（a+11π30）
=tcos2（a+π30）+sin[（a+π30）+π6]+cos[（a+π30）+π3]
=2tcos²（a+π30）+cos（a+π30）-t 
  令x=cos（a+π30）
∴f（x）=2tx²+x-t    x∈[-1，1]，
当t＞0时，函数f（x）开口向上
-14t≤-1时即0＜t≤14，函数在[-1，1]上为增函数，最大值为h（t）=t+1，最小值为g（t）=t-1
-1＜-14t＜1时即t＞14，函数在[-1，-14t]上为减函数，在[-14t，1]上为增函数，最大值为h（t）=t+1，最小值为g（t）=-8t2-18t
当t=0时，函数在[-1，1]上为增函数，最大值为h（t）=1，最小值为g（t）=-1
当t＜0时，函数f（x）开口向下
-1＜-14t＜1时即t＜-14，函数在[-1，-14t]上为增函数，在[-14t，1]上为减函数，最大值为h（t）=-8t2-18t，最小值为g（t）=t-1
-14t≥1时即0＞t≥-14，函数在[-1，1]上为减函数，最大值为h（t）=t-1，最小值为g（t）=t+1
∴F（t）=h（t）-g（t）=2t+18t+1  ，t＞142               ， 0≤t≤14-2              ，-14≤ t＜0-2t-18t-1   ，t＜-14

解析

7π15

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）的定义域为[-1，1]，f.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。