已知函数f=ax2-|x|+2a-1．若a=1，求f的单调区间；若a＞0，设f在区间[1，2]的最小值为g，求

题文

已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1（a为实常数）．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a=1时，f(x)=x2-|x|+1=x2-x+1，x≥0x2+x+1，x＜0=(x-12)2+34，x≥0(x+12)2+34，x＜0（2分）
∴f（x）的单调增区间为（12，+∞），（-12，0）f（x）的单调减区间为（-∞，-12），（0，12）
（2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-12a)2+2a-14a-1
100＜12a＜1即a＞12f（x）在[1，2]为增函数g（a）=f（1）=3a-2
201≤12a≤2即14≤a≤12时，g(a)=f(12a)=2a-14a-1
3012a＞2即0＜a＜14时f（x）在[1，2]上是减函数g（a）=f（2）=6a-3
综上可得g(a)=6a-3，0＜a＜142a-14a-114≤a≤123a-2，a＞12（10分）
所以实数a的取值范围是[-12，1]

解析

x2-x+1，x≥0x2+x+1，x＜0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2-|x|+2a-.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。