定义在上的函数y=f满足：对任意x，y∈都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)．判断函数f的奇偶性，并

题文

（选作题）定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）如果当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是单调递减函数；
（3）在（2）的条件下解不等式：f(x+12)+f(11-x)＞0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）为奇函数．
  令x=y=0，代入f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)有，
  2f（0）=f（0），f（0）=0；
  令y=-x，代入f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)得：
  f（x）+f（-x）=f（0）=0，（xy≠-1，由定义域易知其满足）
∴f（x）=-f（-x），得证．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f(x1-x21-x1•x2)，
由题设知，必有-1＜x1-x21-x1•x2＜1
又x₁-x₂＜0，由x₁，x₂∈（-1，1），可得-x₁•x₂∈（-1，1），所以1-x₁•x₂＞0，
所以-1＜x1-x21-x1•x2＜0，又x∈（-1，0）时f（x）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f(x1-x21-x1•x2)＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
即f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）∵f(x+12)+f(11-x)＞0，f（x）为奇函数，
∴f(x+12) ＞f(1x-1)，函数y=f（x）定义在（-1，1）上，f（x）在（-1，1）上是单调递减函数，
∴-1＜x+12＜ 1-1＜1x-1＜1x+12＜1x-1解得：-32＜x＜-1
∴不等式的解集为：{x|-32＜x＜-1}．

解析

x+y1+xy

考点

据考高分专家说，试题“（选作题）定义在（-1，1）上的函数y=.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。