定义在的函数f满足：①对任意x，y∈都有f+f=f(x+y1+xy)；②当0＜x＜1时，f＞0．回答下列问题．（

题文

定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f(x+y1+xy)；②当0＜x＜1时，f（x）＞0．回答下列问题．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并说明理由；
（3）若f(17)=13，试求f(23)-f(19)-2f(117)的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数定义域为（-1，1）．令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．（3分）
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x11-x1x2)
而x₂-x₁＞0，|x₁||x₂|＜1
∴1-x₁x₂＞0
∴x2-x11-x1x2＞0，
又因为1-x₂＞0，1+x₁＞0
∴（1-x₂）（1+x₁）=1-x₁x₂-x₂+x₁＞0，即1-x1x2＞x2-x1∴x2-x11-x1x2＜1
∴0＜x2-x11-x1x2＜1，
所以f(x2-x11-x1x2)＞0．即当x₁＜x₂时，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间（-1，1）上是单调递增函数．（8分）
（3）由于f(23)-f(17)=f(1119)即f(23)=f(17)+f(1119)
∵f(19)+f(17)=f(14)即-f(19)=f(17)-f(14)
∵f(117)+f(17)=f(15)即-2f(117)=2f(17)-2f(15)
又∵f(14)+f(15)+f(15)=f(37)+f(15)=f(1119)
∴f(23)-f(19)-2f(117)=f(17)+f(119)+f(17)-f(14)+2f(17)-2f(15)
∴f(23)-f(19)-2f(117)=4f(17)=43（14分）

解析

x2-x11-x1x2

考点

据考高分专家说，试题“定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。