题文
已知函数f(x)=x1-a3的定义域是非零实数，且在（-∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数，则最小的自然数a等于______． 题型：未知 难度：其他题型答案
对函数求导，得f′(x)=1-a3x-a-23，又在（-∞，0）上是增函数，
f′(x)=1-a3x-a-23＜0
（1）当-a-23≥1，则必须为奇数（否则为减函数），
则x-2-a3＞0，可得1-a3＞0，
得a≤-5，不符合题意，舍去．
（2）当1＞-a-23＞0，则-2＞a＞-5，不符合舍去．
（3）当-a-23＜0时，必须符合-a-2为负奇数
x-2-a3＜0，则1-a3＜0解得a＞1
故答案为：3．
解析
1-a3考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x1-a3的定义域是非.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
