定义在[0，1]上的函数f满足f=0，f+f=1，f=12f，且当0≤x1＜x2≤1时f≤f，则f（1

题文

定义在[0，1]上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（x5）=12f（x），且当0≤x₁＜x₂≤1时f（x₁）≤f（x₂），则f（12010）等于（ ）A．12B．116C．132D．164 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，令x=1得：f（1）=1，
又f（x5）=12f（x），
∴当x=1时，f（15）=12f（1）=12；
令x=15，由f（x5）=12f（x）得：
f（125）=12f（15）=14；
同理可求：f（1125）=12f（125）=18；
f（1625）=）=12f（1125）=116；
f（13125）=12f（1625）=132 ①
再令x=12，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（12）=12，
∴f（12）+f（1-12）=1，解得f（12）=12，
令x=12，同理反复利用f（x5）=12f（x），
可得f（110）=）=12f（12）=14；
f（150）=12f（110）=18；
…
f（11250）=12f（1250）=132 ②
由①②可得：，有f（11250）=f（13125）=132，
∵0≤x₁＜x₂≤1时f（x₁）≤f（x₂），而0＜13125＜12010＜11250＜1
所以有f（12010）≥f（13125）=132，
       f（12010）≤f（11250）=132；
故f（12010）=132．
故选C．

解析

x5

考点

据考高分专家说，试题“定义在[0，1]上的函数f（x）满足f（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。