函数f(x)=2x3+3x2+1(x≤0)aex(x＞0)在[-2，2]上的最大值为2，则a的范围是A．[2e2，+∞)B．[0，2e2]C．（-∞，0

题文

函数f(x)=2x3+3x2+1(x≤0)aex(x＞0)在[-2，2]上的最大值为2，则a的范围是（ ）A．[2e2，+∞)B．[0，2e2]C．（-∞，0]D．(-∞，2e2] 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意，当x≤0时，f（x）=2x³+3x²+1，可得f′（x）=6x²+6x，解得函数在[-1，0]上导数为负，在[-∞，-1]上导数为正，故函数在[-2，0]上的最大值为f（-1）=2
当x＞0时，f（x）=ae^x，若a＜0，则函数在（0，2]上为负，符合题意，若a=0，显然符合题意，当a＞0时，函数是一个增函数，必有ae²≤2，故有a≤2e2
综上得a的范围是(-∞，2e2]
故选D

解析

2e2

考点

据考高分专家说，试题“函数f(x)=2x3+3x2+1(x≤0.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。