题文
已知函数ϕ(x)=ax+1，a为正常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=92，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）中当a=0时，函数y=f（x）的图象上任意不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，试证明：k＞f'（x0）．
（3）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意的x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有g(x2)-g(x1)x2-x1＜-1，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）f′(x)=1x-a(x+1)2=x2+(2-a)x+1x(x+1)2∵a=92，令f'（x）＞0得x＞2或0＜x＜12
∴函数f（x）的单调增区间为(0，12)，(2，+∞)；
（2）证明：当a=0时f（x）=lnx
∴f′(x)=1x
∴f′(x0)=1x0=2x1+x2
又k=f(x2)-f(x1)x2-x1=lnx2-lnx1x2-x1=lnx2x1x2-x1
不妨设x2＞x1，要比较k与f'（x0）的大小，
即比较lnx2x1x2-x1与2x1+x2的大小，
又∵x2＞x1，
∴即比较lnx2x1与2(x2-x1)x1+x2=2(x2x1-1)x2x1+1的大小．
令h(x)=lnx-2(x-1)x+1(x≥1)，
则h′(x)=1x-4(x+1)2=(x-1)2x(x+1)2≥0
∴h（x）在[1，+∞）上位增函数．
又x2x1＞1，
∴h(x2x1)＞h(1)=0，
∴lnx2x1＞2(x2x1-1)x2x1+1，
即k＞f'（x0）；
（3）∵g(x2)-g(x1)x2-x1＜-1，
∴g(x2)+x2-[g(x1)+x1]x2-x1＜0
由题意得F（x）=g（x）+x在区间（0，2]上是减函数．
1°当1≤x≤2，F(x)=lnx+ax+1+x，
∴F′(x)=1x-a(x+1)2+1
由F′(x)≤0⇒a≥(x+1)2x+(x+1)2=x2+3x+1x+3在x∈[1，2]恒成立．
设m（x）=x2+3x+1x+3，x∈[1，2]，则m′(x)=2x-1x2+3＞0
∴m（x）在[1，2]上为增函数，
∴a≥m(2)=272
2°当0＜x＜1，F(x)=-lnx+ax+1+x，
∴F′(x)=-1x-a(x+1)2+1
由F′(x)≤0⇒a≥-(x+1)2x+(x+1)2=x2+x-1x-1在x∈（0，1）恒成立
设t（x）=x2+x-1x-1，x∈（0，1）为增函数
∴a≥t（1）=0
综上：a的取值范围为a≥272．
解析
1x考点
据考高分专家说，试题“已知函数ϕ(x)=ax+1，a为正常数．.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
