已知函数f对任意的实数x、y都有f=f+f-1，且当x＞0时，f＞1．求证：函数f在R上是增函数；若关于x的

题文

已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：函数f（x）在R上是增函数；
（2）若关于x的不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集为{x|-3＜x＜2}，求f（2009）的值；
（3）在（2）的条件下，设a_n=|f（n）-14|（n∈N^*），若数列{a_n}从第k项开始的连续20项之和等于102，求k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，从而f（x₁-x₂）＞1，即f（x₁-x₂）-1＞0．（2分）
f（x₁）=f[x₂+（x₁-x₂）]=f（x₂）+f（x₁-x₂）-1＞f（x₂），
故f（x）在R上是增函数．（4分）
（2）设2=f（b），于是不等式为f(x_-ax+5a)＜f(b)．
则x_-ax+5a＜b，即x_-ax+5a-b＜0．（6分）
∵不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集为{x|-3＜x＜2}，
∴方程x²-ax+5a-b=0的两根为-3和2，
于是-3+2=a-3×2=5a-b，解得a=-1b=1
∴f（1）=2．（8分）
在已知等式中令x=n，y=1，得f（n+1）-f（n）=1．
所以{f（n）}是首项为2，公差为1的等差数列．
f（n）=2+（n-1）×1=n+1，故f（2009）=2010．（10分）
（3）a_k=|f（k）-14|=|（k+1）-14|=|k-13|．
设从第k项开始的连续20项之和为T_k，则T_k=a_k+a_k+1+…+a_k+19．
当k≥13时，a_k=|k-13|=k-13，T_k≥T₁₃=0+1+2+3+…+19=190＞102．（11分）
当k＜13时，a_k=|k-13|=13-k．
T_k=（13-k）+（12一k）+…+1+0+1+…+（k+6）=k²一7k+112．
令k²-7k+112=102，解得k=2或k=5．（14分）
（注：当k≥13时，a_k=|k一13|=k一13，令Tk=20(k-13)+20×192×1=102，无正整数解．得11分）

解析

-3+2=a-3×2=5a-b

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。