若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对是函数的一个“姊妹点对”与（B，

题文

若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=x2+2x  x＜02ex    x≥0，则f（x）的“姊妹点对”有（ ）个．A．1B．2C．3D．4 题型：未知 难度：其他题型

答案

设P（x，y） （x＜0），则点P关于原点的对称点为P^′（-x，-y），
于是2e-x=-(x2+2x)，化为2e^x+x²+2x=0，
令φ（x）=2e^x+x²+2x，下面证明方程φ（x）=0有两解．
由x²+2x≤0，解得-2≤x≤0，而2ex＞0（x≥0），∴只要考虑x∈[-2，0]即可．
求导φ^′（x）=2e^x+2x+2，
令g（x）=2e^x+2x+2，则g^′（x）=2e^x+2＞0，
∴φ^′（x）在区间[-2，0]上单调递增，
而φ^′（-2）=2e^-2-4+2＜0，φ^′（-1）=2e^-1＞0，
∴φ（x）在区间（-2，0）上只存在一个极值点x₀．
而φ（-2）=2e^-2＞0，φ（-1）=2e^-1-1＜0，φ（0）=2＞0，
∴函数φ（x）在区间（-2，-1），（-1，0）分别各有一个零点．
也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．
故选B．

解析

2e-x

考点

据考高分专家说，试题“若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。