定义在R上的函数y=f，对于任意实数m，n，恒有f=f•f，且当x＞0时，0＜f＜1．求f的值；求当x＜0时

题文

定义在R上的函数y=f（x），对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；
（2）求当x＜0时，f（x）的取值范围；
（3）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令m=0，n＞0，则有f（n）=f（0+n）=f（0）•f（n）
又由已知，n＞0时，0＜f（n）＜1，
∴f （0）=1
（2）设x＜0，则-x＞0f（0）=f[x+（-x）]=f（x）•f（-x）=1
则 f(x)=1f(-x)，
又∵-x＞0，
∴0＜f（-x）＜1，
∴f（x）∈（1，+∞）
（3）f（x）在R上的单调递减
证明：设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂
又x₁=（x₁-x₂）+x₂，由已知f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）•f（x₂）
∴f(x1)f(x2)=f(x1-x2)…（16分），
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，由（2）得f（x₁-x₂）＞1
∴f(x1)f(x2)＞1，又由（1）、（2），f(x1)、f(x2)∈R+，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上的单调递减

解析

1f(-x)

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数y=f（x），对于任意实.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。