选修4-5：不等式选讲．已知函数f(x)=xe+1ex若x1，x2∈[1，+∞），x1≠x2．求证：f(x2)-f(x1)x2-x1

题文

选修4-5：不等式选讲．
已知函数f(x)=xe+1ex（e≈2.718…）
（ I）若x₁，x₂∈[1，+∞），x₁≠x₂．求证：f(x2)-f(x1)x2-x1＞0；
（ II）若满足f（|a|+3）＞f（|a-4|+1）．试求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）f(x2)-f(x1)x2-x1=x2+1x2-x1-1x1e(x2-x1)=(1-1x1x2)(x2-x1)e(x2-x1)=1e(x1x2-1x1x2)…（2分）
∴x₁x₂＞1＞0，∴x1x2-1x1x2＞0，
∵x₁，x₂∈[1，+∞），x₁≠x₂
∴f(x2)-f(x)x2-x1＞0…（5分）
（II）由（ I）可知，f（x）在[1，+∞）为单调增函数．
∵|a|+3＞1，|a-4|+1≥1且f（|a|+3）＞f（|a-4|+1）
∴|a|+3＞|a-4|+1…（7分）
当a≤0时，-a+3＞4-a+1，
∴3＞5，∴a∈∅；
当0＜a＜4时，a+3＞4-a+1，
∴a＞1，∴1＜a＜4；
当a≥4时，a+3＞a-4+1，
∴3＞-3，∴a≥4
综上所述：a＞1…（10分）

解析

f(x2)-f(x1)x2-x1

考点

据考高分专家说，试题“选修4-5：不等式选讲．已知函数f(x).....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。