题文
已知a，b为实数，a＞2，函数f(x)=|lnx-ax|+b，若f(1)=e+1，f(2)=e2-ln2+1．（1）求实数a，b；
（2）求函数f（x）在[1，e2]上的取值范围；
（3）若实数c、d满足c≥d，cd=1，求f（c）+f（d）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由f(1)=e+1，f(2)=e2-ln2+1．得：|ln1-a|+b=e+1|ln2-a2|+b=e2-ln2+1，
因为a＞2，所以，a+b=e+1a2-ln2+b=e2-ln2+1，解得：a=e，b=1．
（2）由（1）知，f(x)=|lnx-ex|+1，
令g(x)=lnx-ex，则g′(x)=1x+ex2=x+ex2，
当x∈[1，e2]时g′（x）＞0恒成立，
所以，g（x）在[1，e2]上为增函数，
所以g（x）min=g（1）=-e，g(x)max=g(e2)=lne2-ee2=2-1e．
所以，|lnx-ex|∈[0，e]，
则函数f（x）在[1，e2]上的取值范围是[1，e+1]．
（3）由c≥d，cd=1，得e≥1，
所以lnc≥0，ce≥0，
若1≤c＜e，
f(c)+f(d)=|lnc-ec|+|-lnc-ce|+2
=ec-lnc+lnc+ce+2=ec+ce+2≥2ec•ce+2=2e+2．
若c=e，
f(c)+f(d)=|lnc-ec|+|-lnc-ce|+2
=e2+3．
若c＞e，
f(c)+f(d)=|lnc-ec|+|-lnc-ce|+2
=lnc-ec+lnc+ce+2
=2lnc+e(c-1c)+2，
函数h(c)=2lnc+e(c-1c)+2为（e，+∞）上的增函数，
所以，f(c)+f(d)＞h(e)=2lne+e(e-1e)+2=e2+3．
因为e2+3≥2e+2，
所以，当c=d=1时，f（c）+f（d）的最小值为2e+2．
解析
e2考点
据考高分专家说，试题“已知a，b为实数，a＞2，函数f(x)=.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
