定义在R上的奇函数f满足f+f=1，f(x5)=12f(x)，且当0≤x1＜x2≤1时，有f≤f，则f(20112012)

题文

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）+f（1-x）=1，f(x5)=12f(x)，且当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），则f(20112012)的值为（ ）A．6364B．3132C．1516D．78 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）+f（1-x）=1，令x=1得f（1）=1
由f(x5)=12f(x)，令x=1得f(15)=12f(1)=12
令x=15，可求出f(125)=12f(15) =14
从而可得f(13125)=132①
∵f（x）+f（1-x）=1，令x=12可得f（12）+f（1-12）=1，∴f（12）=12
同理可得f(11250)=132 ②
这样由①②式，有f(13125)=f(11250)=132
∵13125＜12012＜11250，当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），
∴有f（12012）≥f(13125)=132，f（12012）≤f(11250)=132 
∴有f（12012）=132
由f（x）+f（1-x）=1，f(20112012)=1-f(12012)=1-132=3132
故选B．

解析

x5

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。