已知A、B两点的坐标分别为A(cosx2，sinx2)，B(cos3x2，-sin3x2)，其中x∈[-π2，0].求|AB|的表达式；若OA•OB

题文

已知A、B两点的坐标分别为A(cosx2，sinx2)，B(cos3x2，-sin3x2)，其中x∈[-π2，0].
（Ⅰ）求|AB|的表达式；
（Ⅱ）若OA•OB=13（O为坐标原点），求tanx的值；
（Ⅲ）若f(x)=AB2+4λ|AB|(λ∈R)，求函数f（x）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）|AB|=(cos3x2-cosx2)2+(-sin3x2-sinx2)2
=2-2cos2x
=4sin2x
=-2sinx(∵x∈[-π2，0])；
（Ⅱ）∵OA•OB=cos2x=13，
∴sin2x=1-cos2x2=13，cos2x=1+cos2x2=23
又x∈[-π2，0]，∴sinx=-33，cosx=63.
∴tanx=-22；
（Ⅲ）f(x)=AB2+4λ|AB|=4sin2x-8λsinx
=4（sinx-λ）²-4λ²，
∵x∈[-π2，0]，∴sinx∈[-1，0]，
当-1≤λ≤0时，f（x）的最小值为-4λ2，此时sinx=λ，
当λ＜-1时，f（x）的最小值为4+8λ，此时sinx=-1，
当λ＞0时，f（x）的最小值为0，此时sinx=0．

解析

AB

考点

据考高分专家说，试题“已知A、B两点的坐标分别为A(cosx2.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。