设f在定义域A上是单调递减函数，又F=af，当f＞0时，F＞1．求证：f＜0时，F＜1；F

题文

设f（x）在定义域A上是单调递减函数，又F（x）=a^f（x）（a＞0），当f（x）＞0时，F（x）＞1．
求证：（1）f（x）＜0时，F（x）＜1； 
 （2）F（x）在定义域A上是减函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）∵f（x）＞0时，F（x）=a^f（x）＞1，
∴a＞1
则f（x）＜0时，-f（x）＞0…（2分）
∴a^-f（x）＞1
∴1af(x)＞1
∴0＜a^f（x）＜1
∴F（x）＜1…（4分）
（2）设x₁＜x₂，x₁．x₂∈A…（5分）
∵f（x）在A上为减函数，
∴f（x₁）＞f（x₂）
即f（x₂）-f（x₁）＜0，
而F（x₂）-F（x₁）=a^f（x2）-a^f（x1）=a^f（x1）[a^{f（x2）-f（x1）}-1]…（8分）
∵a＞0，
∴a^f（x1）＞0，且当f（x₂）-f（x₁）＜0  
而f（x）＜0时，F（x）＜1
∴a^{f（x2）-f（x1）}＜1
∴F（x₂）-F（x₁）＜0∴F（x₂）＜F（x₁）
∴F（x）在定义域A上是减函数…（13分）

解析

1af(x)

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）在定义域A上是单调递减函数，又.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。