已知函数y=x+ax有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函数，在[a，+∞)上是增函数．如果函数y=x+2bx(x＞0)在（0，4]上

题文

已知函数y=x+ax有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函数，在[a，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+2bx(x＞0)在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求b的值．
（2）设常数c∈[1，4]，求函数f(x)=x+cx(1≤x≤2)的最大值和最小值；
（3）当n是正整数时，研究函数g(x)=xn+cxn(c＞0)的单调性，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得2b=4，
∴b=4．
（2）∵c∈[1，4]，
∴c∈[1，2]，
于是，当x=c时，函数f（x）=x+cx取得最小值2c．
f（1）-f（2）=c-22，
当1≤c≤2时，函数f（x）的最大值是f（2）=2+c2；
当2≤c≤4时，函数f（x）的最大值是f（1）=1+c．
（3）设0＜x₁＜x₂，g（x₂）-g（x₁）
=xn2+cxn2-xn1-cxn1=(xn2-xn1)(1-cxn1xn2)．
当2nc＜x₁＜x₂时，g（x₂）＞g（x₁），函数g（x）在[2nc，+∞）上是增函数；
当0＜x₁＜x₂＜2nc时，g（x₂）＞g（x₁），函数g（x）在（0，2nc]上是减函数．
当n是奇数时，g（x）是奇函数，
函数g（x）在（-∞，-2nc]上是增函数，在[-2nc，0）上是减函数．
当n是偶数时，g（x）是偶函数，
函数g（x）在（-∞，-2nc）上是减函数，在[-2nc，0]上是增函数．

解析

2b

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=x+ax有如下性质：如果常数.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。